kalkulus 1

Diferensial

Sub Bab Pokok Bahasan

• —Turunan
• —Aturan pencarian turunan
• —Turunan sinus kosinus
• —Aturan rantai
• —Notasi leibniz
• —Turunan tingkat tinggi

 

Garis Singgung

• —Gagasan garis singgung Euclides sebagai suatu garis yang memotong suatu kurva di satu titik adalah tepat untuk kurva berupa lingkaran, tetapi kurang memuaskan untuk kurva lainnya.
• —Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di titik P adalah garis yang paling menghampiri kurva dekat titik P adalah lebih baik tetapi masih tetap terlalu samar.
• —Konsep limit menyediakan suatu cara mendapatkan uraian terbaik.

 

 

Turunan

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung Pertama dari garis singgung .

• —Pada fungsi garis lurus,

• —Untuk menentukan kemiringan dari sebuah kurva kita menggunakan limit

note :  Pada fungsi garis lurusgaris lurus m = rise per run..

• —Contoh 1
  cari m garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)
• —Contoh 2
  cari m garis singgung pada kurva –x2 + 2x + 2 pada titik-titik -1, ½, 2, 3
• —Contoh 3
•   carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/(2x), di titik ( ½ , 1)

Cari kemiringan kemudian cari persamaan menggunakan rumus kemiringan y-y0 = m(x-x0)

• —Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’(f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

• —Andaikan f(x) = 13x – 16, cari f’(4)

  —Jika x3+7x, carilah f ‘(c)

• —Bentuk-bentuk yang setara dengan turunan

• —Contoh 1
  cari g’(c), jika g(x) = 2/(x+3)

  —Contoh 2
  cari fungsi dan titik x dari turunan berikut

 

Teorema Diferensial

• —Aturan Fungsi Konstanta: Jika f(x) = k, maka Df(x) = 0
• —Aturan Fungsi Identitas: Jika f(x) = x, maka Df(x) = 1
• —Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn, maka Df(x) = nxn-1
• —Aturan Kelipatan Konstanta: Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’(x) = k. f’(x) = D[k. f(x)] = k. Df(x)
• —Aturan Jumlah: jika f dan g fungsi2 yang terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x) = D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)
• —Aturan Kelinearan
  f(kx) = mkx+b
  kf(x) = k(mx+b)
• —Aturan selisih: (f – g)’(x) = f’(x) – g’(x)
  contoh, f’(x) dari f(x) =5×2 + 7x – 6
• —Aturan hasil kali: (f.g)’(x) = f(x)g’(x) + f’(x)g(x)
  contoh: f’(x) dari f(x) = (3×2-5)(2×4-x)
• —Aturan hasil bagi:
  
  contoh:
  carilah turunan dari
•                                       

 

Aturan Sinus Kosinus (Trigonometri)

• —y = sin x     turunannya   y’ = cos x
• —y = cos x     turunannya   y’ = -sin x
• —y = tg x       turunannya   y’ = sec2x
• —y = ctg x     turunannya   y’ = -cosec2x
• —y = secx     turunannya   y’ = secx tgx
• —y = cosecx   turunannya y’ = -cosecx ctg x

Pada Fungsi Logaritma

• —y = ln x   turunannya   y’ = 1/x
• y = glogx turunannya   y’ = 1/x ln g

Pada Fungsi Eksponen

• —y = ax turunannya y’ = ax ln a
• —y = ex turunannya y’ = ex

 

 

Aturan Rantai

• —Notasi Dx
  Dxy dapat dibaca penurunan y terhadap x yang sama dengan notasi y’(x).
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan komposit y = f(g(x)) = (f ○ g )(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka (f ○ g ) terdiferensialkan di x… dan—(f ○ g )’(x) = f’(g(x)).g’(x) atau
  Dxy = DuyDxu

Notasi Leibniz

• —Gottfried Wilhelm Leibniz menggunakan notasi dy/dx pada turunan yang dapat di baca penurunan y terhadap x.
  contoh penotasian pada metode rantai dalam penurunan fungsi komposisi adalah:
  dy/dx = dy/du (du/dx)

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Implisit (lanjutan)

Contoh:

• —y3 + 7y = x3
  3y2 . (dy/dx) + 7 . (dy/dx) = x3
  (dy/dx)(3y+7) = 3×2
  maka: dy/dx = 3×2 / 3y2 + 7
• —4x2y – 3y = x3 – 1
  dengan cara explisit, sederhanakan terlebih dahulu:
  y(4×2 – 3) = x3 – 1
  y = x3 – 1 / 4×2 – 3
  dy/dx = 4×4 – 9×2 + 8x / (4×2 – 3)

Dengan cara implisit:

• —4x2y – 3y = x3 – 1
  (4×2(dy/dx) )+ y.8x – (3(dy/dx)) = 3×2

  (dy/dx)(4×2 – 3) = 3×2 – 8xy
  dy/dx = (3×2 – 8xy)/(4×2 – 3)
  substitusikan y nya
  dy/dx = (3×2 – 8x (x3 – 1 / 4×2 – 3))/(4×2 – 3)
  dy/dx = 12×4 – 9×2 – 8×4 + 8x / (4×2 – 3)2

 

source : usep tatang suryadi

kalkulus 1

LIMIT FUNGSI

LIMIT

• —Pengertian Limit
• —Teorema Limit
• —Limit Kiri dan Limit Kanan
• —Limit Tak Hingga
• —Kekontinuan Fungsi

 

PENGERTIAN LIMIT

Arti limit = mendekati,

Contoh =

     Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1

     sebab di titik ini f(x) berbentuk   

     Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1).

                                                                   

definisi:

limit untuk x mendekati c adalah L , di tulis :

jika dan hanya jika untuk setiap bilangan >0 (betapapun kecilnya) , terdapat bilangan 0 sedemikian sehingga apabila 0 <¦ x-c ¦ berlaku ¦¦ < .                                                              

TEOREMA LIMIT

teorema 2.4.1.

misalkan n bilangan bulat positif , k konstanta , serta f dan g  fungsi-fungsi yang m,mempunyai limit di c , maka :

 

LIMIT KIRI DAN KANAN

LIMIT TAK HINGGA

 

1. —∞ = bukanlah suatu bilangan.
2. —∞ = limit tersebut tidak ada.
3. —Secara umum

nilai f(x) semakin besar ketika x mendekati c.

4. Limit serupa, untuk fungsi yang negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan:

 

 

KEKONTINYUAN FUNGSI  :

—Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c ∈ A jika dipenuhi ketiga syarat berikut:

 

 

 

 

SOURCE :: USEP TATANG SURYADI

 

KALKULUS I

Relasi dan fungsi

• Fungsi

Definisi:

fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan satu nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua yang disebut Kodomain. Himpunan yang diperolah dari relasi tersebut disebut daerah hasil (Range).

Notes:

– Domain :Daerah asal fungsi dinotasikan Df

– Kodomain:  Daerah kawan fungsi dinotasikan Kf

– Range: daerah hasil dari fungsi dan merupakan himpunan bagian dari Kf dinotasikan dengan Rf/

– relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan:

A. Diagram Panah ( 🎨)

B. Diagram kartesius 🎨

C. Pasangan berurutan 🎨

• Grafik Fungsi (🎨)

Daerah definisi dan daerah nilai:

– Daerah definisi adalah daerah Domain, dan harus habis berpasangan terhadap daerah nilai (range)

Sifat-sifat dan fungsi

– fungsi injektif ( into)  🎨

FUNGSI iNJEKTIF: fungsi satu-satu yaitu fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada kodomain

– Fungsi surjektif ( onto)

– fungsi bijeksi ( into – onto)

jenis-jenis fungsi:

—Jenis-jenis fungsi riil (R#) :

1.  —Fungsi Polinom/suku banyak, f(x) = a0.xn + a1.xn-1 + …… + an-1x + an ….

—2. Fungsi Aljabar, y = f(x) = P0(x)yn + P1(x)yn-1 + ….. + Pn-1(x)y + Pn(x)

3. Fungsi Transenden/bukan fungsi aljabar, antara lain :

a. fungsi Eksponensial : f(x) = ax , a ≠ 0,1

b. fungsi Logaritma : f(x) = alogx , a ≠ 0,1

—4. Fungsi Trigonometri :

• Operasi Pada Fungsi

—Misal f(x) = (x-3)/2 dan g(x) = √2, dengan domain (0,∞) maka :

• Komposisi Fungsi

1. Komposit g dengan f:

2.Daerah asal g(x) adalah himpunan A, daerah hasil f(x) adalah himpunan B, maka daerah asal himpunan (g o f)(x) adalah   A ∪ B    .

• Invers dari suatu fungsi

– —f: A →B equivalen f-1 : B → A

Fungsi genap adalah suatu fungsi yang bila disubstitusikan nilai – (negatif) pada x maka hasilnya tetap positif fungsi (f(x)) sedangkan fungsi negatif hasilnya menjadi (-f(x)),,, dan fungsi yang tidak memenuhi keduanya bukan termasuk keduanya

• Fungsi Trigonometri

 

1. Grafik sinus .

2. Grafik Cosinus

3. Grafik Tangen

4. Grafik Cosecan

5. Grafik Secan

6. Grafik Kotangen

KESAMAAN TRIGONOMETRI

1.  Kesamaan Ganjil – Genap
Sin(-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

tan (-x) = -tan x

2.  Kesamaan Kofungsi

3.  Kesamaan Pythagoras

4.  Kesamaan Penambahan

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
tan (x + y) = 

5.  Kesamaan sudut ganda

sin 2x = 2 sinx cos x
cos 2 x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x
6. —Kesamaan setengah sudut

7. Kesamaan Jumlah

8.Kesamaan hasil kali
sin x sin y = – ½ [cos(x + y) – cos (x-y)]
cos x cos y = ½ [cos(x + y) + cos (x-y)]
sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin(x-y)]

 

««Prev sistem bilangan real ¦ Next»»

 

source : usep tatang suryadi

 

kalkulus 1

Sistem Bilangan   Real  

• Himpunan bilangan real

 

1. Skema himpunan bilangan real Sunting
2. himpunan bilangan

3. Sifat-sifat bilangan real

 

– hukum kumulatif

– Hukum asosiatif

– hukum distribusi

– Elemen elemen identitas

– invers ( balikan)

4. Garis bilangan

– Salah satu Penyajian bilangan real / himpunan bilangan real.

– Sifat- sifat urutan

😀 trikotomi

😀 ketransitifan

😀 penambahan

😀 perkalian

Notes: tulis penulisan pada garis bilangan

Untuk tanda <, >,<,>.

• Desimal dan kerapatan

1. Desimal bilangan real: bilangan rasional (desimal tak berulang 🔁)  dan bilangan rasional (desimal berulang 🔁) , sedangkan bilangan irasional tidak berulang dan tak berhingga.
2. Kerapatan ( antara dua titik bilangan real ada banyak bilangan bilangan real yang lainnya.

Notes: pada kerapatan garis bilangan,  bilangan tak rasional tersisipkan di antara bilangan bilangan rasional.

• Persamaan dan pertidaksamaan 

1. Definisi

Persamaan adalah sebuah pernyataan matematika dengan simbol yang menyatakan bahwa dua hal sama persis di tulis dengan tanda -.

Pertidaksamaan menyatakan bahwa suatu hal lebih besar dari yang lain. Di nyatakan dengan <,>,≤,≥.

2. Penyelesaian Persamaan dan pertidaksamaan,  kita dapat menambahkan bilangan yang sama.

3. Rumus ABC

Notes: D: diskriminan

• Nilai mutlak, akar dan kuadrat 

          – Sifat–sifat nilai mutlak

1.  pertidaksamaan segitiga

1. Pertidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak

• Sistem kordinat persegi panjang 

Sistem kordinat adalah suatu cara atau metode untuk menentukan letak suatu titik.

Terbentuk dari dua sumbu.

Terbagi 4 kuadran.

♦rumus jarak.

♦ rumus titik tengah suatu garis.

♦ persamaan lingkaran

– Untuk mencari r nya.

– mencari persamaan lingkaran dari suatu persamaan .

– Penampakan sistem kordinat 2D.

• Garis lurus 

1.         kemiringan garis.

kemiringan garis gradien (slope)

– Kemiringan garis datar = °

– Kemiringan garis vertical = ∞

2.         Bentuk kemiringan titik.

– Untuk mencari persamaan garis.

Garis dengan titik kordinat  ( x,y ) dan (x1,y1)

– Persamaan kemiringan perpotongan.

Pada sumbu y.

Pada sumbu x.

3.         persamaan garis sejajar.

– Kedua persamaan garisnya memiliki nilai M atau gradien ( slope)  yang sama besar.

4.        persamaan garis tegak lurus.

– Nilai M persamaan pertama dan kedua jika di kalikan menghasilkan nilai -1.

• Grafik persamaan.

1. Prosedur penggambaran grafik.

– dapatkan kordinat – kordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

– Gambarkan titik – titik tersebut pada bidang

– Hubungkan titik – titik tersebut dengan kurva 📈 yang mulus.

2. Kesimetrian grafik.

– Simetris terhadap y bila penggantian x dengan -x memberikan persamaan yang setara. Sebagai contoh y=x2.

– Simetris terhadap sumbu x bila penggantian y dengan -y memberikan persamaan yang setara. Sebagai contoh y=1+y2

– Simetris terhadap titik asal bila penggantian x dengan -x juga penggantian y dengan -y memberikan persamaan yang setara. …(y=x3 merupakan contoh yang bagus karena y=x3 setara dengan y=(-x)3).

♦  titik balik suatu grafik.

– grafik dengan fungsi  f(x)=ax2+bx+c dapat di cari titik kordinatnya dengan …

3. Perpotongan antar grafik

– Kedua persamaan grafik di sandingkan,  sebagai ruas kiri dan kanan untuk kemudian di carikan nilai perpotongan x-nya.  Selanjutnya substitusikan x-nya untuk mendapatkan padanan kordinat y-nya.

– Misal persamaan grafik 1: f(x)1=a1x2+b1x+c1

– Persamaan kedua  f(x)2=a2x2+b2x+c2

Maka: 

 

«Prev himpunan ¦ sistem kordinat next »

Source: Usep tatang suryadi

 

KALKULUS I

KALKULUS   I

Pokok Bahasan

• Himpunan
• Sistem Bilangan real
• Sistem Koordinat
• Limit
• Fungsi Kontinuitas
• Turunan / Diferensial / Derivatif
• Fungsi Turunan

 

Himpunan

• Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

• Notasi Pada Himpunan
  • { … } →        untuk menyatakan sebuah himpunan
  •    ∈    →        untuk  menyatakan anggota himpunan
  • a ∈  S   →        a anggota dari himpunan S
  • p ∉ S   →        p bukan anggota himpunan S
  • a,b,c →        anggota himpunan  S jika S = {a,b,c} atau S = {b,a,c}, dalam hal ini, urutan dari elemen-elemen himpunan tidak di perhatikan.

Penyajiannya dalam bentuk A= { x adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2,4,6,8 }

• Jenis himpunan
  • Finet set ( behingga )

Himpunan berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga.

Contoh:

A = { x adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2,4,6,8 }

B = { x | 2 ˂x ˂10 , x = bilangan ganjil } = { 3,7,9 }`

• Himpunan tak berhingga ( infinet set )

Himpunan tak berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga . contoh :

C = { x ç x  adalah bilangan ganjil >  1 } = { 3, 7, 9, 11 ……… }

D = { x ç x  adalah bilangan riil >  6 } = { 7, 8, 9 ……..…… }

• Himpunan kosong ( void set )

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen. Contoh :

E = { x ê x² = 9 , x  adalah genap } = {     }   atau   f

• Himpunan Ekuivalen ( kesamaan 2 himpunan )

Himpunan ekuivalen yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama. Contoh :

Jika H  =  { 2, 3, 4, 5 } dan I = { h, I, j, k } maka  H ~ I karena n(H) = n(I) = 4

• Himpunan Bagian (subset)

Himpunan bagian  yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain. Contoh :

Jika J  =  { 2, 4, 6, 8 } dan K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } maka  J ⊂ K  ( J subset dari K ), sedangkan  K ⊃ J  ( K superset dari J ) karena K             mengandung semua elemen dari J.

• Himpunan saling lepas / asing / disjoint

Himpunan saling lepas  yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda. Contoh :

Jika L  = { 1, 2, 3, 4, 5  } dan M = { 15, 16, 17, 18, 19 } maka  L  | |  M

• Himpunan Semesta ( Universal set )

Himpunan semesta  yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan. Contoh :

Jika N  =  { a, b, c, d  } , O = { e, f, g, h } dan P = { i, j, k, l } maka himpunan semestanya S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l }

• Himpunan Komplemen

Himpunan komplemen  yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya. Contoh :

Jika S = { bilangan bulat positif }, Q  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan

R = {1, 3, 5, 7,…} maka himpunan komplemen dari R adalah R^c = {2, 4, 6, 8, …} dan himpunan komplemen dari Q adalah Q^c =  { 8, 9, 10,…}

• Himpunan Keluarga / Set of Set

Himpunan keluarga  yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan. Contoh :

T  =  {{2,3}, {1,0}, {0,4,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

U  =  {{2,3},  5, 7 , {0,4,7}} ……..  Û Bukan Himpunan Keluarga

• Himpunan Power Set / Kuasa

Himpunan kuasa  yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ. Contoh :

W =  { 2, 5 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

{ 2  }  ⊂  {2,5}, { 5  }  Ì  {2,5}, {2,5}  ⊂ {2,5}, {     }  ⊂ {2,5} maka himpunan kuasa W = {2,5}  adalah {{2},{5},{2,5},{  }}

 

• Diagram Venn

Penyajian hubungan antara himpunan

Alat untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan.

Himpunan yang dimaksud digambarkan dengan lingkaran sedangkan himpunan Semesta digambarkan dengan 4 persegi panjang .

• Operasi himpunan
• Gabungan ( Union )  symbol ∪
  • Contoh : S = { a, b, c, d } ; T = { a, d, e, f }, maka :
    • S È T = { a, b, c, d, e, f }
    • S È T = { x | x ∈ S atau  x ∈ T }
  • Irisan ( intersection )  symbol ∩

Contoh : P = { a, b, c, d } ; R = { a, d, e, f } ;  Q = { h, i, j, k  }, maka :

• P ∩R = { a, d }
  • P Ç R = { x | x ∈ P dan x ∈ R }
• P ∩ Q = f …… saling asing/disjoint/kosong
• R ∩ Q = f …… saling asing/disjoint/kosong

• Komplemen dari S  symbol S^c

Contoh : S  = { 1, 2, 3 }, maka :

• S^c = {4, 5, 6……}
• S^c = { 0,-1,-2…..}

• Selisih X – Y

Contoh :  X = { 10, 20, 30, 40, 50 } ; Y = {10, 30, 60 }, maka :

• X – Y = { 20, 40, 50 }

• Selisih Simetri  symbol ∇

Contoh : A = { 2, 3, 4, 6 } ; B = { 1, 3, 4, 5, 6 }, maka :

• A ∇ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B )
  • = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } – { 3, 4, 6 }
  • = { 1, 2, 5 }

 

Atau        A ∇  B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

• = { 2 } ∪ { 1, 5 }
• = { 1, 2, 5 }

• Hasil kali cartesius dari 2 himpunan A dan B  symbol x

A x B = { ( x,y ) | x ∈ A,  y ∈ B  }   x dan y pasangan berurut

Contoh : A = { a, b, c }

• B = { 1, 2 }
• A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) }
• B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) }
• A x B ¹ B x A

• Banyaknya Anggota himpunan bagian adalah 2ⁿ
• Sifat – sifat operasi himpunan
• Komutatif

• Asosiatif

• Idempotent

• Distributif

• Distributif  selisih

• De morgan

 

SISTEM BILANGAN REAL next  »»

Source : usep tatang suryadi

 

First blog post

This is your very first post. Click the Edit link to modify or delete it, or start a new post. If you like, use this post to tell readers why you started this blog and what you plan to do with it.