kalkulus 1

Diferensial

Sub Bab Pokok Bahasan

  • —Turunan
  • —Aturan pencarian turunan
  • —Turunan sinus kosinus
  • —Aturan rantai
  • —Notasi leibniz
  • —Turunan tingkat tinggi

 

Garis Singgung

  • —Gagasan garis singgung Euclides sebagai suatu garis yang memotong suatu kurva di satu titik adalah tepat untuk kurva berupa lingkaran, tetapi kurang memuaskan untuk kurva lainnya.
  • —Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di titik P adalah garis yang paling menghampiri kurva dekat titik P adalah lebih baik tetapi masih tetap terlalu samar.
  • —Konsep limit menyediakan suatu cara mendapatkan uraian terbaik.

 

 

Turunan

picture3

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung Pertama dari garis singgung .

  • —Pada fungsi garis lurus,

picture4

  • —Untuk menentukan kemiringan dari sebuah kurva kita menggunakan limit

picture5

picture6

note :  Pada fungsi garis lurusgaris lurus m = rise per run..

  • —Contoh 1
    cari m garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)
  • —Contoh 2
    cari m garis singgung pada kurva –x2 + 2x + 2 pada titik-titik -1, ½, 2, 3
  • —Contoh 3
  •   carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/(2x), di titik ( ½ , 1)

Cari kemiringan kemudian cari persamaan menggunakan rumus kemiringan y-y0 = m(x-x0)

  • —Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’(f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

picture7

  • —Andaikan f(x) = 13x – 16, cari f’(4)

    —Jika x3+7x, carilah f ‘(c)

  • —Bentuk-bentuk yang setara dengan turunan

picture8

  • —Contoh 1
    cari g’(c), jika g(x) = 2/(x+3)

    —Contoh 2
    cari fungsi dan titik x dari turunan berikut

Picture9.png

 

Teorema Diferensial

  • —Aturan Fungsi Konstanta: Jika f(x) = k, maka Df(x) = 0
  • —Aturan Fungsi Identitas: Jika f(x) = x, maka Df(x) = 1
  • —Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn, maka Df(x) = nxn-1
  • —Aturan Kelipatan Konstanta: Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’(x) = k. f’(x) = D[k. f(x)] = k. Df(x)
  • —Aturan Jumlah: jika f dan g fungsi2 yang terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x) = D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)
  • —Aturan Kelinearan
    f(kx) = mkx+b
    kf(x) = k(mx+b)
  • —Aturan selisih: (f – g)’(x) = f’(x) – g’(x)
    contoh, f’(x) dari f(x) =5×2 + 7x – 6
  • —Aturan hasil kali: (f.g)’(x) = f(x)g’(x) + f’(x)g(x)
    contoh: f’(x) dari f(x) = (3×2-5)(2×4-x)
  • —Aturan hasil bagi:
    picture10
    contoh:
    carilah turunan dari
  •                                        picture11

 

Aturan Sinus Kosinus (Trigonometri)

  • —y = sin x     turunannya   y’ = cos x
  • —y = cos x     turunannya   y’ = -sin x
  • —y = tg x       turunannya   y’ = sec2x
  • —y = ctg x     turunannya   y’ = -cosec2x
  • —y = secx     turunannya   y’ = secx tgx
  • —y = cosecx   turunannya y’ = -cosecx ctg x

Pada Fungsi Logaritma

  • —y = ln x   turunannya   y’ = 1/x
  • y = glogx turunannya   y’ = 1/x ln g

Pada Fungsi Eksponen

  • —y = ax turunannya y’ = ax ln a
  • —y = ex turunannya y’ = ex

 

 

Aturan Rantai

  • —Notasi Dx
    Dxy dapat dibaca penurunan y terhadap x yang sama dengan notasi y(x).
  • Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan komposit y = f(g(x)) = (f ○ g )(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka (f ○ g ) terdiferensialkan di x… dan—(f ○ g )’(x) = f’(g(x)).g’(x) atau
    Dxy = DuyDxu

Notasi Leibniz

  • —Gottfried Wilhelm Leibniz menggunakan notasi dy/dx pada turunan yang dapat di baca penurunan y terhadap x.
    contoh penotasian pada metode rantai dalam penurunan fungsi komposisi adalah:
    dy/dx = dy/du (du/dx)

Turunan Tingkat Tinggi

o.png

Turunan Implisit (lanjutan)

Contoh:

  • —y3 + 7y = x3
    3y2 . (dy/dx) + 7 . (dy/dx) = x3
    (dy/dx)(3y+7) = 3×2
    maka: dy/dx = 3×2 / 3y2 + 7
  • —4x2y – 3y = x3 – 1
    dengan cara explisit, sederhanakan terlebih dahulu:
    y(4×2 – 3) = x3 – 1
    y = x3 – 1 / 4×2 – 3
    dy/dx = 4×4 – 9×2 + 8x / (4×2 – 3)

Dengan cara implisit:

  • —4x2y – 3y = x3 – 1
    (4×2(dy/dx) )+ y.8x – (3(dy/dx)) = 3×2

    (dy/dx)(4×2 – 3) = 3×2 – 8xy
    dy/dx = (3×2 – 8xy)/(4×2 – 3)
    substitusikan y nya
    dy/dx = (3×2 – 8x (x3 – 1 / 4×2 – 3))/(4×2 – 3)
    dy/dx = 12×4 – 9×2 – 8×4 + 8x / (4×2 – 3)2

 

source : usep tatang suryadi