KALKULUS I

KALKULUS   I

index

Pokok Bahasan

  • Himpunan
  • Sistem Bilangan real
  • Sistem Koordinat
  • Limit
  • Fungsi Kontinuitas
  • Turunan / Diferensial / Derivatif
  • Fungsi Turunan

 

Himpunan

  • Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

  • Notasi Pada Himpunan
    • { … } →        untuk menyatakan sebuah himpunan
    •    ∈    →        untuk  menyatakan anggota himpunan
    • a ∈  S   →        a anggota dari himpunan S
    • p ∉ S   →        p bukan anggota himpunan S
    • a,b,c →        anggota himpunan  S jika S = {a,b,c} atau S = {b,a,c}, dalam hal ini, urutan dari elemen-elemen himpunan tidak di perhatikan.

Penyajiannya dalam bentuk A= { x adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2,4,6,8 }

  • Jenis himpunan
    • Finet set ( behingga )

Himpunan berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga.

Contoh:

A = { x adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2,4,6,8 }

B = { x | 2 ˂x ˂10 , x = bilangan ganjil } = { 3,7,9 }`

  • Himpunan tak berhingga ( infinet set )

Himpunan tak berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga . contoh :

C = { x ç x  adalah bilangan ganjil >  1 } = { 3, 7, 9, 11 ……… }

D = { x ç x  adalah bilangan riil >  6 } = { 7, 8, 9 ……..…… }

  • Himpunan kosong ( void set )

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen. Contoh :

E = { x ê x2 = 9 , x  adalah genap } = {     }   atau   f

  • Himpunan Ekuivalen ( kesamaan 2 himpunan )

Himpunan ekuivalen yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama. Contoh :

Jika H  =  { 2, 3, 4, 5 } dan I = { h, I, j, k } maka  H ~ I karena n(H) = n(I) = 4

  • Himpunan Bagian (subset)

Himpunan bagian  yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain. Contoh :

Jika J  =  { 2, 4, 6, 8 } dan K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } maka  J ⊂ K  ( J subset dari K ), sedangkan  K ⊃ J  ( K superset dari J ) karena K             mengandung semua elemen dari J.

  • Himpunan saling lepas / asing / disjoint

Himpunan saling lepas  yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda. Contoh :

Jika L  = { 1, 2, 3, 4, 5  } dan M = { 15, 16, 17, 18, 19 } maka  L  | |  M

  • Himpunan Semesta ( Universal set )

Himpunan semesta  yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan. Contoh :

Jika N  =  { a, b, c, d  } , O = { e, f, g, h } dan P = { i, j, k, l } maka himpunan semestanya S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l }

  • Himpunan Komplemen

Himpunan komplemen  yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya. Contoh :

Jika S = { bilangan bulat positif }, Q  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan

R = {1, 3, 5, 7,…} maka himpunan komplemen dari R adalah Rc = {2, 4, 6, 8, …} dan himpunan komplemen dari Q adalah Qc =  { 8, 9, 10,…}

  • Himpunan Keluarga / Set of Set

Himpunan keluarga  yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan. Contoh :

T  =  {{2,3}, {1,0}, {0,4,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

U  =  {{2,3},  5, 7 , {0,4,7}} ……..  Û Bukan Himpunan Keluarga

  • Himpunan Power Set / Kuasa

Himpunan kuasa  yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2n maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2n. Contoh :

W =  { 2, 5 } maka himpunan bagiannya ada 22 = 4, yaitu :

{ 2  }  ⊂  {2,5}, { 5  }  Ì  {2,5}, {2,5}  ⊂ {2,5}, {     }  ⊂ {2,5} maka himpunan kuasa W = {2,5}  adalah {{2},{5},{2,5},{  }}

 

  • Diagram Venn

Penyajian hubungan antara himpunan

k1

Alat untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan.

Himpunan yang dimaksud digambarkan dengan lingkaran sedangkan himpunan Semesta digambarkan dengan 4 persegi panjang .

  • Operasi himpunan
  • Gabungan ( Union )  symbol ∪
    • Contoh : S = { a, b, c, d } ; T = { a, d, e, f }, maka :
      • S È T = { a, b, c, d, e, f }
      • S È T = { x | x ∈ S atau  x ∈ T }
    • Irisan ( intersection )  symbol ∩

Contoh : P = { a, b, c, d } ; R = { a, d, e, f } ;  Q = { h, i, j, k  }, maka :

  • P ∩R = { a, d }
    • P Ç R = { x | x ∈ P dan x ∈ R }
  • P ∩ Q = f …… saling asing/disjoint/kosong
  • R ∩ Q = f …… saling asing/disjoint/kosong
  • Komplemen dari S  symbol Sc

Contoh : S  = { 1, 2, 3 }, maka :

  • Sc = {4, 5, 6……}
  • Sc = { 0,-1,-2…..}
  • Selisih X – Y

Contoh :  X = { 10, 20, 30, 40, 50 } ; Y = {10, 30, 60 }, maka :

  • X – Y = { 20, 40, 50 }
  • Selisih Simetri  symbol ∇

Contoh : A = { 2, 3, 4, 6 } ; B = { 1, 3, 4, 5, 6 }, maka :

  • A ∇ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B )
    • = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } – { 3, 4, 6 }
    • = { 1, 2, 5 }

 

Atau        A ∇  B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

  • = { 2 } ∪ { 1, 5 }
  • = { 1, 2, 5 }
  • Hasil kali cartesius dari 2 himpunan A dan B  symbol x

A x B = { ( x,y ) | x ∈ A,  y ∈ B  }   x dan y pasangan berurut

Contoh : A = { a, b, c }

  • B = { 1, 2 }
  • A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) }
  • B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) }
  • A x B ¹ B x A
  • Banyaknya Anggota himpunan bagian adalah 2n
  • Sifat – sifat operasi himpunan
  • Komutatif

komutatif-k1

  • Asosiatif

asosiatif kl1.png

  • Idempotent

idemp[otent k1.png

  • Distributif

distributif

  • Distributif  selisih

distributif-selisih

  • De morgan

de-morga

 

SISTEM BILANGAN REAL next  »»

Source : usep tatang suryadi

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s